A pesar de esto muy pocos conocen el potencial que tienen y la complejidad que hay detrás de ellos.

Muchos y muy grandes matemáticos se han dedicado a su estudio con mayores o menores avances. Pero ninguno de ellos ha sido capaz de sacar una ley general para calcular números primos o conocer su distribución.

Aunque el problema de la distribución de los números primos parezca un problema teoríco sin ninguna aplicación o utilidad práctica, la realidad es muy distinta.Los números primos permiten la construcción de estructuras algebraicas (cuerpos finitos) y gracias a esta estructuras se pueden utilizar:

• Códigos correctores de errores, que posibilitan la corrección de errores en las transmisiones electrónicas de datos (móviles, internet, …), lecturas de datos (CD, DVD, Mini-Disc, …)
• Criptografía, protección de la información.

Euclides fue el primer matemático conocido que dió la primera demostración formal sobre la infinitud de los números primos,  publicada en el libro IX de los Elementos.

Como curiosidad diremos que El Libro de los Elementos de Euclides es la segunda obra que a más idiomas se ha traducido después de La Biblia y no El Quijote.

Alla por el 300 a.C. en Grecia Euclides publicó la siguiente demostración:

Euclides supuso que había sólo un número finito de números primos.

Sean todos los números primos donde .

Construyó el siguiente número .

Es obvio que es distinto de cero y además , es decir no es un número primo, entonces es divisible por algún con .

Ahora bien:

Dado que no es divisible por ninguno de los primos, es decir no es un número compuesto, se deduce que es un número primo.

Habíamos supuesto que teníamos un número finito, completamente identificado de números primos y hemos hayado otro número primo distinto.  Entonces se demuestra que los números primos son infinitos. Si incluimos este núevo número primo en el conjunto de números primos podemos construir el siguiente número:

y siguiendo el razonamiento anterior llegaremos a que es otro número primo y así ad infinitum.

Esta demostración es de una simplicidad y elegancia increibles, maxime teniendo en cuenta de cuando es. No sólo es simple y elegante ya que además es constructiva al enseñar un método de construcción de números primos.

Aún me acuerdo el primer día en la facultad en clase de Algebra cuando el profesor dijo que a él no se le hubiera ocurrido esta demostración a lo que “alguien” le salió del alma “joder ni a mi tampoco y no lo voy comentando“.

Esta demostración no nos ayuda a comprender la problematica de la distribución de los números primos.

Un número es primo sí y sólo sí es divisible por el mismo y la unidad. Es decir no puede ser divisible por ningún número entero menor que él (con la excepción de la unidad). Esta caracterización la podemos refinar diciendo que un número es primo sí y sólo sí no es divisible por ningún número primo menor que él. Y la podemos refinar aún más diciendo que es primo sí y sólo sí no es divisible por ningún número primo menor o igual que .

Cuanto mayor es más condiciones le imponemos para ser un número primo. Una mayor cantidad de números por los que no puede ser divisible.

Ahora ya empezamos a intuir la dificultad del problema.

Pero es posible dar una visión más en profundidad de las dificultades que entraña la distribución de los números primos.

Fijemos un número tal que . Consideremos el siguiente conjunto:

El cardinal del conjunto (número de elementos):

Ninguno de los elementos de es primo ya que:

con

Hemos encontrado un método para construir lagunas de números enteros consecutivos en los que no hay ningún número primo. Este método es válido para cualquier número natural .

Supongamos que (número aproximado de átomos en el universo) entonces podemos no sólo afirmar que existen números compuestos consecutivos si no que además sabemos cuales son. Con esta prueba tan demoledora tenderíamos a pensar que detrás de esta laguna no existen más números primos, es decir existe un número finito de números primos. Craso error. Da igual el tamaño de la laguna que construyamos, siempre habrá números primos por detrás de ella.

• Sólo es divisible por el mismo y la unidad.

No se le considera un número primo.

El no considerarse como un número primo no es un capricho y, como todo en matemáticas, tiene su razón de ser.

El Teorema fundamental de la Aritmética nos dice que todo “número entero positivo admite una descomposición única en factores primos salvo el orden“.

Es decir:

Supongamos por un momento que el número 1 fuera un número primo entonces tendríamos:

Lo que nos daría no una si no varias descomposiciones diferentes  contradiciendo el Teorema fundamental de la Aritmetica.

Aunque pueda parecer un “apaño” para justificar un Teorema el hecho es que este “apaño” es necesario debido a la definición de número primo que incluye la divisibilidad de un número por el número 1. Esta condición de divisibilidad es obvia ya que cualquier número entero siempre será divisible por la unidad y esta ambiguedad es la que origina esta “pequeña contradicción” que hay que superar.