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Nuevos avances en Topología Albebraíca podrían reavivar la cuadratura del círculo

Miércoles, 28 de diciembre de 2011 jadebustos Dejar un comentario Ir a comentarios

Se ha publicado un nuevo resultado en Topología Algebraíca que podría, quizá, reavivar el interés por el problema de la cuadratura del círculo.

Recordemos el problema de la cuadratura del círculo:

“Dado un círculo de radio R se trata de encontrar un cuadrado que tenga el mismo área que el círculo anterior, utilizando sólo regla y compás“

Este problema geométrico se considera irresolubre.Investigadores de la Universidad de FrUtah han presentado un resultado, de forma preliminar, que resuelve este problema en espacios topológicos de dimensión mayor o igual que tres.

Al igual que ocurrió con la demostración del Ultimo Teorema de Fermat se han encontrado unos errores que afectan al caso de espacios topológicos de dimensión dos. En estos espacios es donde se incluye el clásico problema de la cuadratura del círculo. Los investigadores creen poder salvar este último escollo y se encuentran trabajando para solucionarlo.

Dado que la demostración es muy teórica vamos a explicar de forma sencilla la aproximación seguida por estos investigadores particularizando el caso a espacios topológicos de dimensión tres, $\mathbb{R}^3$ .

Por simplificar haremos referencia a superficies diferenciables y variedades topológicas indistintamente.

En primer lugar estos investigadores han demostrado que dada una superfice diferenciable cualquiera de clase $C^{\infty}$ existe otra de clase $C^{\infty}$ y diferenciable a trozos equivalente. Siempre para dimensiones $n\ge 3$ .

Es decir que para $n\ge 3$ se tiene una correspondecia biunívoca entre las superficies diferenciables de clase $C^{\infty}$ y las de clase $C^{\infty}$ diferenciables a trozos.

Para que la “demostración” sea más facilmente entendible, para el lector no ducho en Matemáticas avanzadas, particularizaremos al caso de transformar una esfera en un cubo.

Dada una esfera existe un único cubo equivalente (mismo volumén) en el espacio topológico de la misma dimensión:

Observar que, al ser la correspondencia biunívoca, si se logra demostrar para el caso $n=2$ no sólo será posible cuadrar el círculo si no que además será posible circuncidar el cuadrado. Algo que sin duda será del agrado de toda la comunidad Matemática Judía. Bueno, en realidad de toda la comunidad Judía.

Para demostrar la la correspondencia biunívoca explicaremos el ejemplo escogido.

Basicamente se ha demostrado que es posible encontrar una única solución a:

$\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot R^3 = L^3$

pudiendo transformar la esfera anterior de radio $R$ al cubo de lado $L$ utilizando unicamente regla y compás.

El éxito de esta demostración ha sido que, al contrario de los anteriores ataques al problema, ahora se ha sido respetuoso con las Leyes de la Termodinámica.

Esta vez se han tenido en cuenta las Leyes de la Termodinámica, en concreto la “Primera Ley de la Termondinámica” o “Principio de Conservación de la Energía“.

Los ataques al problema de la cuadratura del círculo se basaban en el principo de “Las gallinas que entran por las que salen“, es decir no tenían en cuenta que para realizar la transformación del circulo en un cuadrado del mismo área es necesario invertir energía. “La regla y el compás no se manejan solos y en nuestra Universidad siempre hemos sido muy respetuosos con las Leyes de la Termodinámica” puntualizaron los investigadores.

Es decir la energía necesaria para la transformación viene dada por:

$\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot R^3 = L^3 + \nabla E$

Al lector quiza le choque la ecuación anterior y piense ¿Pero entonces los volúmenes no serán iguales?

En la ecuación anterior es correcta la observación, pero recordemos que estamos trabajando con superficies diferenciables.

Si definimos la variable:

$t=|L^3-(\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot R^3)|$

y definimos:

$\nabla E = \lim_{t\to 0} \int_{t-L}^{t} \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot R^3 dR$

Se demuestra que el volumen de ambas superficies es igual en el límite.

Para la demostración se define la siguiente sucesión de funciones:

$f_{t} = \int_{t-L}^{t} \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3 dR$

haciendo un cambio de variable:

$h=\frac{1}{t}$

tenemos que cuando $t\to 0$ se tiene que $h\to \infty$ . Esto nos permite utilizar el Teorema de Convergencia Dominada (Lebesgue):

$lim_{h\to \infty}\int_{X} |f_h-V(L)| d\mu = 0$

Donde $V(L)$ es el volumen del cubo de lado $L$ .

La demostración es mucho más detallada ya que interconecta diferentes ramas de la Matemática y aquí la hemos resumido para esbozar a grandes rasgos los fundamentos matemáticos en los que se sustenta.

Los investigadores realizarón experimentos prácticos para comprobar los resultados teóricos resultando muy esperanzadores al lograr “cuadrar” dos melocotones.

Sin embargo, cuando procedieron a intentar cuadrar un círculo de radio $R$ se encontraron desconcertados ya que no consiguieron un cuadrado de área $\pi \cdot R^2$ , como cabría esperar. El resultado fue una magdalena de $\pi \cdot R^2$ calorías. El resultado fue desconcertante ya que no sólo no se obtuvo un cuadrado del área deseada si no que se obtuvo una superficie perteneciente a un espacio topológico de dimensión superior. El que el invariante matemático, área, se conservará aunque fuera en forma de calorías es esperanzador. Se espera que sea un error menor que sólo afecta al caso $n=2$ . La comunidad científica está espectante esperando a que se solucione este error y los resultados sean publicados en el arXiv de forma definitiva. Los investigadores, no obstante, ya han anunciado que una vez resuelvan el problema para el caso $n=2$ estudiarán en profundidad el caso de la magdalena ya que quizá se pueda validar un método científico para la producción de magdalenas, y quiza de otros productos de repostería, de una forma rápida, sencilla y respetuosa con el medio ambiente. Esta afirmación no ha sentado muy bien en el gremio de reposteros que han amenazado con llevar a los investigadores a los tribunales acusados de competencia desleal e intrusismo. La noticia, de confirmarse su aplicación en repostería, del posible nombramiento de estos investigadores para el Premio Nobel de Repostería no ha hecho más que empeorar el malestar del gremio repostero.