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La infinitud de los números primos

Viernes, 21 de mayo de 2010 jadebustos Dejar un comentario Ir a comentarios

Los números primos son considerados como los ladrillos de la aritmética. Desde siempre han cautivado a los matemáticos. Son unos entes muy simples de definir y conocidos por todos los infantes desde su más tierna infancia.

A pesar de esto muy pocos conocen el potencial que tienen y la complejidad que hay detrás de ellos.

Muchos y muy grandes matemáticos se han dedicado a su estudio con mayores o menores avances. Pero ninguno de ellos ha sido capaz de sacar una ley general para calcular números primos o conocer su distribución.

Aunque el problema de la distribución de los números primos parezca un problema teoríco sin ninguna aplicación o utilidad práctica, la realidad es muy distinta.Los números primos permiten la construcción de estructuras algebraicas (cuerpos finitos) y gracias a esta estructuras se pueden utilizar:

Códigos correctores de errores, que posibilitan la corrección de errores en las transmisiones electrónicas de datos (móviles, internet, …), lecturas de datos (CD, DVD, Mini-Disc, …)
Criptografía, protección de la información.

Euclides fue el primer matemático conocido que dió la primera demostración formal sobre la infinitud de los números primos, publicada en el libro IX de los Elementos.

Como curiosidad diremos que El Libro de los Elementos de Euclides es la segunda obra que a más idiomas se ha traducido después de La Biblia y no El Quijote.

Alla por el 300 a.C. en Grecia Euclides publicó la siguiente demostración:

Euclides supuso que había sólo un número finito de números primos.

Sean $P_1, P_2, \dots , P_n$ todos los números primos donde $n \in \mathtt{N}$ .

Construyó el siguiente número $Q=(P_1 \cdot P_2 \cdot \dots \cdot P_n ) + 1$ .

Es obvio que $Q$ es distinto de cero y además $Q \notin \{ P_1, P_2, \dots , P_n \}$ , es decir $Q$ no es un número primo, entonces $Q$ es divisible por algún $P_i$ con $i \in \{1, \dots , n\}$ .

Ahora bien:

$Q \equiv 1 \mod P_i$ $\forall i \in \{ 1, \dots, n\}$

Dado que $Q$ no es divisible por ninguno de los primos, es decir no es un número compuesto, se deduce que $Q$ es un número primo.

Habíamos supuesto que teníamos un número finito, completamente identificado de números primos y hemos hayado otro número primo distinto. Entonces se demuestra que los números primos son infinitos. Si incluimos este núevo número primo en el conjunto de números primos podemos construir el siguiente número:

$R=(P_1 \cdot P_2 \cdot \dots \cdot P_n \cdot Q) + 1$

y siguiendo el razonamiento anterior llegaremos a que $R$ es otro número primo y así ad infinitum.

Esta demostración es de una simplicidad y elegancia increibles, maxime teniendo en cuenta de cuando es. No sólo es simple y elegante ya que además es constructiva al enseñar un método de construcción de números primos.

Aún me acuerdo el primer día en la facultad en clase de Algebra cuando el profesor dijo que a él no se le hubiera ocurrido esta demostración a lo que “alguien” le salió del alma “joder ni a mi tampoco y no lo voy comentando“.

Esta demostración no nos ayuda a comprender la problematica de la distribución de los números primos.

Un número es primo sí y sólo sí es divisible por el mismo y la unidad. Es decir no puede ser divisible por ningún número entero menor que él (con la excepción de la unidad). Esta caracterización la podemos refinar diciendo que un número es primo sí y sólo sí no es divisible por ningún número primo menor que él. Y la podemos refinar aún más diciendo que $n \in \mathtt{N}$ es primo sí y sólo sí no es divisible por ningún número primo menor o igual que $\sqrt{n}$ .

Cuanto mayor es $n$ más condiciones le imponemos para ser un número primo. Una mayor cantidad de números por los que no puede ser divisible.

Ahora ya empezamos a intuir la dificultad del problema.

Pero es posible dar una visión más en profundidad de las dificultades que entraña la distribución de los números primos.

Fijemos un número tal que $n \in \mathtt{N}$ . Consideremos el siguiente conjunto:

$A=\{ (n+1)!+2, (n+1)!+3, \dots , (n+1)!+(n+1)\}$

El cardinal del conjunto (número de elementos):

$\#A = n$

Ninguno de los elementos de $A$ es primo ya que:

$(n+1)!+j \equiv 0 \mod j$ con $j \in \{2, \dots , n+1 \}$

Hemos encontrado un método para construir lagunas de números enteros consecutivos en los que no hay ningún número primo. Este método es válido para cualquier número natural $n \in \mathtt{N}$ .

Supongamos que $n=1 \cdot 10^{78}$ (número aproximado de átomos en el universo) entonces podemos no sólo afirmar que existen $1 \cdot 10^{78}$ números compuestos consecutivos si no que además sabemos cuales son. Con esta prueba tan demoledora tenderíamos a pensar que detrás de esta laguna no existen más números primos, es decir existe un número finito de números primos. Craso error. Da igual el tamaño de la laguna que construyamos, siempre habrá números primos por detrás de ella.